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Aufgaben

Im Jahr 1972 erschien mit dem HP-35 der erste technisch-wissenschaftliche Taschenrechner bis dahin nutze man zum schnellen Rechnen den sogenannten Rechenschieber. Wie der funktioniert, erarbeitest du dir in den folgenden Aufgaben.

1. Berechne die folgenden Terme. Vergleiche die Ergebnisse.
   1. $\lg 10$, $\lg 5$ und $\lg 50$
   2. $\log_3 7$, $\log_3 7$, $\log_3 21$
2. Anhand der vorherigen Aufgabe kann man das Logarithmengesetz $$\log_c (a\cdot b) = \log_c (a) + \log_c (b)$$ erkannt haben, d. h. der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der beiden Logarithmen. Diese Gesetzmäßigkeit kann man sich übrigens mithilfe der Potenzgesetze herleiten.
3. Beim Rechenschieber wird diese Gesetzmäßigkeit genutzt, um Zahlen mithilfe der Addition von Strecken multiplizieren zu können. Stephan Mueller hat hierzu ein schönes Erklärvideo erstellt.
   Ab jetzt hast du drei Möglichkeiten:
   1. In Variante 1 lädst du dir einen Papierrechenschieber herunter, druckst ihn aus und bastelst ihn zusammen.
   2. Du nutzt einen Online-Rechenschieber.
   3. Schneide aus Papier verschiedene Rechtecke wie in der folgenden Abbildung aus. Das erste Rechteck erhält die Länge $\log_{1{,}2} 2$, das zweite die Länge $\log_{1{,}2} 3$, … das fünfundzwanzigste die Länge $\log_{1{,}2} 25$.

4. Berechne die folgenden Produkte mithilfe des Rechenschiebers/deiner Rechtecke:
   1. $5 \cdot 4$
   2. $7 \cdot 9$
   3. $4{,}7 \cdot 2{,8}$
5. Drehe ein kurzes Video, in dem du erklärst, wie man mit dem Rechenschieber zwei Zahlen multipliziert. Alternative: Erstelle mithilfe der ausgeschnittenen Logarithmenstücke eine kurze Anleitung, mit der du erklärst, wie man zwei Zahlen mithilfe dieser Stücke schnell multiplizieren kann.

Hilfe

Für weitere Hilfe könnt ihr euch gerne bei mir melden.

In der Wikipedia gibt es auch eine Erklärung.

Abgabe der Lösungen

Lade deine Lösung von Aufgabe 5 bis Freitag (03.04.) um 12:00 Uhr unter diesem Link hoch. Vergiss nicht, deine Lösung zu beschriften oder die Datei korrekt zu benennen.

Aufgaben

1. Wir haben Gleichungen kennengelernt, die wir bisher nur durch Ausprobieren oder mithilfe von numerischen Verfahren (Taschenrechner SOLVE) lösen können. Löse die folgenden Exponentialgleichungen durch geschicktes Ausprobieren.
   1. $10^x = \num{1 000 000}$
   2. $3^x = 81$
   3. $2^x = 1024$
   4. $5^x = 625$
   5. $\displaystyle \left. \sqrt{12} \right.^x = 144 $
2. In der 5. Klasse konntest du die Gleichung $3x = 4$ nicht lösen. In der 7. Klasse wusstest du noch nicht, wie die Gleichung $x^2 = 3$ gelöst werden kann. Beschreibe, wie du das Problem in der jeweils darauffolgenden Klassenstufe gelöst hast.
3. Auch für das Lösen von Exponentialgleichungen haben sich die Mathematiker eine Rechenoperation ausgedacht – den Logarithmus. Die Lösung der Gleichung $a^x = b$ bezeichnet man als Logarithmus der Zahl $b$ zur Basis $a$, kurz
   $$a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b\ .$$
4. Ergänze Sie in Ihrer Lösung von Aufgabe 1 die jeweils auszurechnenden Logarithmen.
5. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen mithilfe des Logarithmus.
   1. $2^x = 10 $
   2. $2^x = 65536$
   3. ${\left( \frac12 \right)}^x = \num{0,01} $
   4. $\num{1,05}^x = 2$
6. Die Bevölkerung Deutschlands (ca. 82 Millionen) schrumpft (derzeit) jährlich um ca. $\SI{0,5}{\%}$.
   1. Bestimme, wie viele Personen in Deutschland in 50 Jahren leben, wenn die derzeitige Abnahmerate konstant bleibt.
   2. Bestimme Sie, zu welchem Zeitpunkt in Deutschland 41 (10) Millionen Menschen leben, wenn die Abnahmerate konstant bleibt.
   3. Begründe, warum eine solche Prognose nur wenig aussagekräftig ist.
7. Zeichne die Graphen der Funktionen $f(x) = 2^x$ und $g(x) = \log_2(x)$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichne vom Ursprung aus jeweils 8 LE in jede Richtung. Wähle die Schrittweite in der Wertetabelle dynamisch, d. h. wähle sie in Abschnitten, wo dies sinnvoll ist, eine kleinere Schrittweite. Beschreibe, wie die beiden Graphen geometrisch zusammenhängen.

Hilfe

Hier ein Video, das zeigt, wie man Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnen kann.

Für weitere Hilfe könnt ihr euch gerne bei mir melden.

Abgabe der Lösungen

Lade deine handschriftlichen (!) Lösungen der Aufgaben 5-7 bis Montag (30.03.) um 12:00 Uhr unter diesem Link hoch. Vergiss nicht, deine Lösung zu beschriften oder die Datei korrekt zu benennen.

Wichtig

Bitte schaue am Montagmorgen wieder auf dieser Webseite vorbei.

Aufgaben

1. Bearbeite die folgende Aufgaben: S. 135 / 1, 2, 5, 6. Dabei kann dir das GeoGebra-Applet der letzten Stunde helfen.
2. Lade dir GeoGebra auf deinen PC herunter. Die Variante GeoGebra 5 Classic ist am besten hierfür geeignet. Gib in der Eingabezeile ax^2 + bx +c ein und beantworte die Frage nach den Schiebereglern mit „Ja“. Wenn sich der Graph mithilfe der Schieberegler strecken, stauchen und verschieben lässt, hast du alles richtig gemacht.
3. Untersuche und vergleiche den Einfluss der Parameter auf die folgenden Funktionen. Kommuniziere dabei per Videotelefonie oder -konferenz mit mindestens einem deiner Mitschüler. Mit Jitsi Meet kannst du sogar deinen Bildschirm teilen.
   1. die quadratische Funktion $f(x) = a\cdot (x-c)^2 + d$,
   2. die Potenzfunktion $g(x) = a \cdot (x-c)^n +d$ und
   3. die Sinusfunktion $h(x) = a \cdot \sin(x-c) + d$.
4. S. 137 / 11, 14

Abgabe der Lösung

Lade deine persönliche Lösung von Aufgabe 3 bis Freitag, dem 20.03.2020 (13:00 Uhr), unter diesem Link hoch.

Dies Lösung sollte mindestens eine halbe Seite handschriftlich geschriebenen Text betragen. Um den Text zu veranschaulichen müssen mehrere Graphen gezeichnet werden.

Zur Digitalisierung der Lösung und zum Upload gibt es eine bebilderte Anleitung für Android-basierte Geräte.

Unabhängig davon, welche Aufgabe hochgeladen werden soll, müssen natürlich alle Aufgaben bearbeitet werden.

Mithilfe dieses GeoGebra-Applets erarbeiten wir uns, wie die Parameter die Exponentialfunktion der Form $f(x) = a b^{x-d} + c$ beeinflussen.