2. Arbeitsauftrag G10e

Aufgaben

  1. Wir haben Gleichungen kennengelernt, die wir bisher nur durch Ausprobieren oder mithilfe von numerischen Verfahren (Taschenrechner SOLVE) lösen können. Löse die folgenden Exponentialgleichungen durch geschicktes Ausprobieren.
    1. $10^x = \num{1 000 000}$
    2. $3^x = 81$
    3. $2^x = 1024$
    4. $5^x = 625$
    5. $\displaystyle \left. \sqrt{12} \right.^x = 144 $
  2. In der 5. Klasse konntest du die Gleichung $3x = 4$ nicht lösen. In der 7. Klasse wusstest du noch nicht, wie die Gleichung $x^2 = 3$ gelöst werden kann. Beschreibe, wie du das Problem in der jeweils darauffolgenden Klassenstufe gelöst hast.
  3. Auch für das Lösen von Exponentialgleichungen haben sich die Mathematiker eine Rechenoperation ausgedacht – den Logarithmus. Die Lösung der Gleichung $a^x = b$ bezeichnet man als Logarithmus der Zahl $b$ zur Basis $a$, kurz
    $$a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b\ .$$
  4. Ergänze Sie in Ihrer Lösung von Aufgabe 1 die jeweils auszurechnenden Logarithmen.
  5. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen mithilfe des Logarithmus.
    1. $2^x = 10 $
    2. $2^x = 65536$
    3. ${\left( \frac12 \right)}^x = \num{0,01} $
    4. $\num{1,05}^x = 2$
  6. Die Bevölkerung Deutschlands (ca. 82 Millionen) schrumpft (derzeit) jährlich um ca. $\SI{0,5}{\%}$.
    1. Bestimme, wie viele Personen in Deutschland in 50 Jahren leben, wenn die derzeitige Abnahmerate konstant bleibt.
    2. Bestimme Sie, zu welchem Zeitpunkt in Deutschland 41 (10) Millionen Menschen leben, wenn die Abnahmerate konstant bleibt.
    3. Begründe, warum eine solche Prognose nur wenig aussagekräftig ist.
  7. Zeichne die Graphen der Funktionen $f(x) = 2^x$ und $g(x) = \log_2(x)$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichne vom Ursprung aus jeweils 8 LE in jede Richtung. Wähle die Schrittweite in der Wertetabelle dynamisch, d. h. wähle sie in Abschnitten, wo dies sinnvoll ist, eine kleinere Schrittweite. Beschreibe, wie die beiden Graphen geometrisch zusammenhängen.

Hilfe

Hier ein Video, das zeigt, wie man Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnen kann.

Für weitere Hilfe könnt ihr euch gerne bei mir melden.

Abgabe der Lösungen

Lade deine handschriftlichen (!) Lösungen der Aufgaben 5-7 bis Montag (30.03.) um 12:00 Uhr unter diesem Link hoch. Vergiss nicht, deine Lösung zu beschriften oder die Datei korrekt zu benennen.

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