Diese Woche beschäftigen wir uns mit Exponentialgleichungen.
Gleichungen – Wie ging das nochmal?
Das Lösen von Gleichungen ist nicht einfach. Wenn du etwas Übung brauchst, findest du Aufgaben und Lösungen in der folgenden Liste:
- Lineare Gleichungen
- Lineare Gleichungen bei Zahlenrätseln
- Lineare Gleichungen bei Sachaufgaben
- Quadratische Gleichungen
- Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen führen
- Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen
Bearbeite von den Nummern 1, 4 und 5 so viele Aufgaben, bis du dir wieder sicher bist, wie das mit dem Gleichungen lösen funktioniert.
Exponentialgleichungen
Einfache Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im Exponenten vorkommt. Ein Beispiel ist die Gleichung $$7 + \frac12 \cdot 2^{3+2x} = 56\ .$$
Kommt, wie in dieser Gleichung, die Variable nur in einem Exponenten vor, lässt sich die Gleichung mithilfe von einfachen Äquivalenzumformungen lösen. Wie das im Beispiel geht, siehst du im folgenden Bild.
- Bearbeite S. 147 Nr. 1.
- Manche Exponentialgleichungen lassen sich etwas schneller durch kurzes Nachdenken lösen. Bearbeite S. 147 Nr. 3.
Kompliziertere Exponentialgleichungen
Kommt die Variable in mehreren Exponenten vor, wir das Ganze schon schwieriger. Beispiel: $$27 \cdot 3^{2x-2} + 2 \cdot 9^{x} – 81 = 0\ .$$
Solche Exponentialgleichungen lassen sich mithilfe der Potenzgesetze (nochmal üben?) lösen.
\begin{align}
27 \cdot 3^{2x-2} + 2 \cdot 9^{x} – 81 &= 0\\
27 \cdot 3^{2x} : 3^2 + 2 \cdot 9^x – 81 &= 0\\
27 \cdot \left(3^2\right)^x \cdot \frac19 + 2 \cdot 9^x -81 &= 0\\
3 \cdot 9^x + 2 \cdot 9^x – 81 = 0\\
5 \cdot 9^x -81 &= 0\\
9^x &= \frac{81}{5}\\
x = \log_9 \left( \frac{81}{5} \right) & \approx \num{1,27}\\
\mathbb{L} &= \left\{ \num{1,27} \right\}
\end{align}
- Beschreibe für jede Zeile, welche Umformungen durchgeführt wurden.
- Bearbeite S. 147 Nr. 6.
Ich will mehr!
Auf S. 148 kannst du mit den Nummern 10 und 13 weiterüben. Manche Aufgaben davon sind bockschwer.
Upload der Lösung
Lade deine Lösung der Aufgaben 1-4 bis nächsten Montag (04.05.2020) um 18:00 Uhr mit einer Scansoftware gescannt (!) im Schulportal hoch.
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